置换群的运作过程

置换群通过排列组合元素位置实现数学变换。一个3元素的置换群包含6种排列方式：恒等排列、3种单元素交换和2种三元素轮换。置换运算遵循封闭性，任意两个置换组合后仍是群内元素。群中的恒等置换相当于单位元，与任何置换结合都不改变原排列。置换群在密码学中广泛应用，如AES加密算法就使用了置换操作来打乱数据顺序，增强安全性。

置换群的阶由元素数量决定，n个元素的置换群阶为n!。群内元素可生成子群，如4元素置换群包含一个3阶子群。置换分解为不相交轮换的乘积，每个置换可唯一分解为对换的乘积。群表展示了所有元素间的运算结果，呈现对称性。计算机科学中的快速排序算法利用置换群原理，通过元素交换重新排列数据序列，提高排序效率。