有限循环群的子群

有限循环群的子群一定是循环群，且阶数整除原群的阶数。例如，阶数为6的循环群有子群阶数1、2、3、6。阶数为12的循环群有子群阶数1、2、3、4、6、12。每个子群由原群中某个元素的幂生成，如Z12的子群<3>={0,3,6,9}，阶数为4。循环群的子群结构完全由原群的阶数决定，子群数量等于原群阶数的约数个数。

有限循环群的子群具有明确的生成规则和唯一性。给定正整数n，n阶循环群有且只有一个d阶子群，其中d整除n。例如，Z24的3阶子群是<8>={0,8,16}，8阶子群是<3>={0,3,6,...,21}。这种一一对应关系使得循环群的子群结构极为清晰，不同于非循环群可能存在多个同阶子群的情况。子群间的包含关系也形成了一个完全有序的格结构。