常用的洛朗级数展开式

洛朗级数在复变函数中应用广泛，常见展开式包括1/(z-a)的级数，收敛域为|z-a|>0。函数e^z的洛朗级数等于Σ(z^n/n!)，n从负无穷到正无穷。1/(z^2+1)在|z|>1时展开为Σ(-1)^k/z^(2k+2)，k从0到无穷。这些展开式在计算复积分和求解微分方程时发挥关键作用，物理中的电磁场计算也频繁使用这类级数。

洛朗级数还能处理奇点附近的函数行为。函数sin(1/z)在z=0处展开为Σ(-1)^k/((2k+1)!z^(2k+1))，k从0到无穷。1/z^3的洛朗级数就是它本身，仅含负幂项。信号处理中，这类级数用于分析周期信号的频谱特性，工程领域的控制系统设计也依赖洛朗级数展开来预测系统稳定性。