什么是变限积分

变限积分是积分上限或下限为变量的积分形式。∫从a到x的f(t)dt表示函数f从固定点a到变量x的积分值。这种积分会随着x的变化而改变结果，形成一个新的函数。当x增加时，积分区间扩大，结果通常增大；x减小时，积分区间缩小，结果减小。变限积分在物理中表示累积量，如位移、面积或总量。微积分基本定理表明，变限积分的导数等于被积函数在上限处的值，即d/dx∫从a到x的f(t)dt = f(x)。

变限积分在实际应用中非常广泛。工程领域用它计算随时间变化的总量，如累计流量或总能量。经济学中，变限积分可以表示累积成本或总收入。统计中，它用于计算概率分布函数值。变限积分还能解决微分方程，通过积分将导数关系还原为原函数关系。在信号处理中，积分运算用于平滑噪声信号。数学分析中，变限积分是研究函数性质的重要工具，连接了微分与积分两大运算。