简述什么是群循环群

群循环群是一种具有生成元的特殊群结构，群中所有元素都可以通过反复添加一个固定元素得到。整数加法群是循环群，元素1可以生成全部整数。模n的剩余类加法群也是循环群，元素1能生成所有剩余类。循环群的阶数可以是有限或无限，有限循环群的子群数量等于其阶数的约数个数。

循环群具有高度对称性和简单结构，其元素构成一个封闭系统。5次单位根在乘法运算下形成循环群，元素e^(2πik/5)生成整个群。循环群的自同构群同构于模n的乘法群，其中n是原群的阶数。这种结构在密码学和编码理论中有广泛应用，如RSA算法就基于循环群的性质。