牛顿迭代法的基本思路是什么

牛顿迭代法通过构造切线方程逼近函数零点。算法从初始猜测值开始，计算函数值与导数值，用公式xₙ₊₁ = xₙ f(xₙ)/f'(xₙ)更新解。每步迭代使近似值更接近真实根，收敛速度快。求√2时，从x₀=1开始，迭代3次精度可达小数点后6位。该方法适用于多项式方程、超越方程等多种函数形式。

该方法利用泰勒展开的一阶近似，将非线性问题转化为线性问题处理。迭代过程具有二次收敛特性，误差平方递减。实际应用中，选择合适初始值很重要，否则可能发散。计算复杂度低，每步只需一次函数值和导数值计算。在工程计算中，常用于求解非线性方程组优化问题。