共轭分布是什么

共轭分布是概率统计中的一种特殊关系，指当先验分布和似然函数属于同一分布族时，后验分布也属于这个族。贝叶斯分析中，二项分布配合Beta先验产生Beta后验，泊松分布结合Gamma先验得到Gamma后验。这种性质简化了计算过程，使贝叶斯推断更加高效。共轭对包括正态分布-正态分布、多项分布-狄利克雷分布等组合。数学上，共轭关系意味着先验分布与似然函数的乘积比例于同一类型的分布。

共轭分布的实际应用广泛，金融风险评估中，Beta-Binomial模型用于估计违约概率；机器学习领域，高斯-高斯共轭简化了线性回归的贝叶斯推断；医学研究中，Gamma-Poisson模型适合分析疾病发生率。共轭分布的优势在于计算简便，不需要复杂的数值积分。现代软件如Stan和PyMC3内置多种共轭分布实现，加速了贝叶斯建模过程。这种数学结构让复杂问题变得可解，提高了统计建模的实用性。