正负惯性指数的几何意义

正负惯性指数描述了二次型在不同方向上的伸展程度。正惯性指数表示二次型在正方向上的伸展维度数，负惯性指数表示负方向上的伸展维度数。例如，在三维空间中，一个二次型若正惯性指数为2，负为1，意味着该二次型在两个方向上向外伸展，一个方向向内收缩。这种几何直观可通过标准形中的平方项系数正负数量直接体现。

二次型的正负惯性指数决定了其对应的几何图形类型。正惯性指数为3时，三维空间中的二次曲面为单叶双曲面；正为2、负为1时，为双叶双曲面；正为1、负为2时，则为二次锥面。这种对应关系在更高维空间同样成立，正负惯性指数的和等于空间维数，差值则反映了曲面的弯曲方向和程度。