有限群的特征

有限群的特征体现在其元素数量固定且有限，每个元素都满足群的基本性质：封闭性、结合律、单位元和逆元。例如，整数模n加法群包含n个元素，每个元素相加结果仍在群内。对称群S_n包含n个元素的排列，共n!个元素，所有排列组合构成一个有限群。循环群Z_n由生成元的幂次构成，元素数量为n，每个元素都是生成元的某次幂。

有限群的阶数(元素总数)决定了其结构复杂性。拉格朗日定理指出子群的阶数必须整除群的阶数。例如，阶数为4的群只有两种可能：循环群Z_4或克莱因四元群。有限单群无法分解为更小的正规子群，如交错群A_5是阶数为60的最小有限单群。有限群的表示理论通过矩阵研究群结构，每个有限群都同构于某个置换群。