余弦电流有效值的推导

余弦电流有效值的推导从基本定义出发。有效值等于瞬时值的平方在一个周期内的平均值的平方根。余弦电流表达式为i(t) = Im*cos(ωt)，平方后得到i²(t) = Im²*cos²(ωt)。利用三角恒等式cos²(x) = (1+cos(2x))/2，可简化为i²(t) = Im²/2 + (Im²/2)*cos(2ωt)。在一个完整周期内积分，第二项平均值为0，第一项保持不变。因此，平方的平均值为Im²/2，再取平方根得到有效值I = Im/√2 ≈ 0.707Im。

余弦电流有效值推导体现了交流电测量原理的实际应用。万用表测量交流电流时显示的就是有效值，确保测量结果与直流电产生相同热效应。有效值概念使不同波形交流电可直接比较功率消耗。在电力系统中，设备额定电流基于有效值设计，确保安全运行。推导过程展示了数学工具如何解决工程问题，三角函数积分和周期性分析成为处理周期信号的基础方法。