什么是二次型

二次型是数学中一种特殊的齐次多项式，由二次项组成。表达式如f(x,y)=3x²+2xy+5y²就是典型例子。二次型在矩阵表示中可写成XᵀAX，其中A是对称矩阵。这种形式在物理学中描述能量函数，在经济学中用于效用函数分析。二次型还可通过配方法化为标准形，简化计算过程。几何上，二次型表示圆锥曲线或二次曲面，如椭圆、双曲线等。

二次型的特征值决定其性质，正定二次型确保函数值始终为正。机器学习中，二次型出现在损失函数设计中，帮助优化模型参数。工程领域里，二次型用于振动系统分析，计算固有频率。统计学中，二次型出现在卡方分布检验中。二次型的秩反映矩阵的独立维度数，计算效率高，应用广泛。