循环群是正规子群吗

循环群一定是正规子群。循环群由单个元素生成，结构简单明确。循环群中的每个元素都是生成幂次的结果，群运算遵循固定规则。循环群的子群也是循环群，且包含所有元素的幂次。循环群的这种结构保证了它在任何包含它的群中都是正规子群，因为左陪集等于右陪集。例如，整数加法群是循环群，它的子群如偶数加法群也是正规子群。

循环群正规子群的性质可通过具体例子验证。模n的剩余类群Z/nZ是循环群，它的每个子群都是正规子群。循环群的阶数决定了子群的数量和结构，这些子群都满足正规子群的条件。 Klein四元群虽不是循环群，但它的子群都是正规子群，展示了循环群正规性的普遍性。多项式x^n-1的根形成的乘法群也是循环群，其子群正规性在代数数论中有广泛应用。