曲线在点处的曲率方程

曲线在点处的曲率方程描述了曲线在某一点的弯曲程度。曲率计算公式为K=|y''|/(1+(y')²)^(3/2)，其中y'和y''分别表示函数的一阶和二阶导数。圆的曲率处处相等，半径为r的圆曲率等于1/r。直线曲率为0，因为直线没有弯曲。抛物线y=x²在原点处曲率为2，在点(1,1)处曲率为2/2^(3/2)≈0.707。椭圆在不同点处曲率不同，长轴端点曲率最小，短轴端点曲率最大。

曲率方程在工程设计中应用广泛。高速公路弯道设计需要考虑曲率半径，确保车辆安全通过。机械零件如齿轮轮廓的曲率直接影响传动效率。建筑物的拱形结构曲率计算能保证结构稳定性。计算机图形学中，曲率方程帮助生成平滑的曲面模型。医学成像中，血管曲率分析可辅助诊断心血管疾病。地震学里，地层曲率变化能预测地下资源分布。光学镜片设计依赖精确的曲率计算以实现理想的光线折射效果。