什么是二重复根

二重复根是指多项式方程中出现的重根，其重数为2。这类根在多项式求导后仍然存在，表现为方程图像与x轴相切。二次方程x²-6x+9=0有二重复根x=3，因为它可以写成(x-3)²=0。三次方程x³-3x²+3x-1=0也有二重复根x=1，对应因式分解为(x-1)²(x+1)=0。二重复根在工程计算中常见，如振动系统分析，此时系统响应会呈现特殊模式。

二重复根的判别式为零，方程解的几何表现为曲线与x轴接触但不穿越。多项式P(x)=(x-2)²(x+3)有二重复根x=2，导数P'(x)=2(x-2)(x+3)+(x-2)²在x=2处也为零。物理系统中，二重复根对应临界阻尼状态，如弹簧-质点系统在特定参数下达到平衡的最快方式，既不震荡也不缓慢收敛。