有限群是什么意思

有限群是由有限个元素组成的代数结构，满足封闭性、结合律、存在单位元和每个元素都有逆元的条件。整数模n的加法群是有限群的典型例子，如{0,1,2}在模3加法下形成3阶群。对称群也是有限群，平面上正方形的旋转和反射操作构成8阶二面体群。有限群在密码学、编码理论和量子计算中有广泛应用，如RSA加密算法基于有限域上的乘法群性质。

有限群的阶数指元素个数，可分为素数阶和复合阶。拉格朗日定理指出子群阶数必能整除群阶数，4阶群只有循环群和克莱因四元群两种。有限群表示论研究群到矩阵群的同态映射，帮助理解对称性。晶体学群描述晶体对称性，230种空间群涵盖了所有晶体结构。有限群论是现代数学基础，连接代数、几何和物理多个领域。