循环群的子群必为循环群

循环群的子群确实都是循环群。整数加法群Z的子群nZ（n为正整数）就是循环群，生成元为n。有限循环群Z_n的子群同样循环，Z_6的子群{0,3}由3生成，{0,2,4}由2生成。循环群G=的任意子群H要么是平凡群{e}，要么由a^k生成，k为最小正整数使得a^k属于H。这个性质在模运算群中尤为明显，如时钟加法群Z_12的子群{0,3,6,9}由3生成。

循环群的结构保证了子群的循环性。无限循环群Z的子群对应正整数n，每个子群nZ都是无限循环群。有限循环群Z_m的子群数量等于m的正约数个数，每个子群由m/d阶元素生成，d为m的约数。例如Z_8有4个子群：{0}、{0,4}、{0,2,4,6}和Z_8本身，分别由8、4、2和1生成。这个性质在密码学中应用广泛，如离散对数问题基于循环群子群的结构特性。