正定二次型是什么

正定二次型是数学中一种特殊的二次形式，满足对于所有非零向量x，x^TAx>0的条件。这类二次型在几何上表示椭圆抛物面，在物理中描述稳定系统的能量函数。常见的正定二次型包括x^2+y^2+z^2和2x^2+3y^2+5z^2，它们的系数矩阵特征值全部为正数。实际应用中，正定二次型出现在优化问题中，确保目标函数有唯一最小值，也出现在统计学中作为协方差矩阵的基本性质。

正定二次型的判断方法有多种，顺序主子式全为正是一种可靠方式。矩阵A=(2,1;1,2)是正定的，因为其各阶顺序主子式2和3都大于0。在工程领域，正定二次型用于结构分析，确保系统刚度矩阵具有正定性。计算机图形学中，正定二次型用于曲面渲染和光照计算，保证计算结果的物理合理性。机器学习算法中的核函数也常采用正定形式，确保特征映射的有效性。