数学史上的四次危机是什么

数学史上的四次危机分别由无理数、微积分、集合论和悖论引发。古希腊人发现√2无法表示为分数，动摇了毕达哥拉斯学派"万物皆数"的信念。17世纪牛顿和莱布尼茨创立的微积分基础不牢，导数概念模糊导致贝克莱主教抨击"消失量的鬼魂"。19世纪康托尔集合论出现后，罗素提出"所有不包含自身的集合的集合"悖论，引发对数学基础的质疑。这些危机都推动了数学理论的严格化发展。

数学危机促进了公理化方法、逻辑推理和形式系统的发展。希帕索斯的无理数发现催生了欧几里得《几何原本》的公理体系。微积分的漏洞促使柯西、魏尔斯特拉斯等人建立极限的ε-δ定义。罗素悖论直接推动了希尔伯特计划，试图将数学建立在完全可靠的基础上。哥德尔不完备定理则宣告了这一计划的失败，使数学家重新审视数学的本质和局限性。